Potencial electrico: POTENCIAL ELECTRICO

Potencial electrico

El concepto de voltaje o potencial en electricidad es similar al concepto de altura en la gravedad y el concepto de temperatura en termodinámica. La fuerza eléctrica al igual que la fuerza gravitacional, es consecuencia de las leyes fundamentales de la naturaleza. Las fuerzas eléctricas conciernen a la interacción de una distribución de carga con otra carga. La energía potencial eléctrica es la energía de la distribución de la carga junto con la de una segunda carga. El potencial eléctrico tiene la misma relación con el campo eléctrico que la que tiene la energía potencial con la fuerza. La descarga de los rayos es una impresionante demostración de que hay energía en los campos eléctricos. Existe una gran diferencia de potencial entre la Tierra y las nubes, o entre nubes distintas, que provoca el rayo.

Energía Potencial Eléctrica

La energía potencial se puede definir como la capacidad para realizar trabajo que surge de la posición o configuración. En el caso eléctrico, una carga ejercerá una fuerza sobre cualquier otra carga y la energía potencial potencial surge del conjunto de cargas. Por ejemplo, si fijamos en cualquier punto del espacio una carga positiva Q, cualquier otra carga positiva que se traiga a su cercanía, experimentará una fuerza de repulsión y por lo tanto tendrá energía potencial. La energía potencial de una carga de prueba Q en las inmediaciones de esta fuente de carga será:

donde k es la constante de Coulomb.
En electricidad, normalmente es mas conveniente usar la energía potencial eléctrica por unidad de carga, llamado expresamente potencial eléctrico o voltaje.

Existe una relación entre el trabajo y la energía potencial. El concepto de energía de posición o energía potencial es extremadamente útil. Se sabe que una masa m a una altura h (mucho menor que el radio de la Tierra) sobre la superficie terrestre tiene una energía potencial que se puede representar por U = mgh. Esa energía potencial se puede convertir en energía cinética de acuerdo a la conservación de la energía.

Al levantar un objeto se realiza trabajo sobre él y se incrementa su energía potencial gravitacional. De manera análoga, un objeto cargado puede tener energía potencial en virtud de su posición en un campo eléctrico. También se requiere trabajo para desplazar una partícula cargada contra el campo eléctrico de un cuerpo con carga. La energía potencial eléctrica de una partícula cargada aumenta cuando se realiza trabajo sobre ella para moverla contra el campo eléctrico de algún otro objeto cargado.

La fuerza eléctrica que ejerce la carga qo sobre la q, separadas por una distancia r, es:

Esta fuerza tiene una notable semejanza con la fuerza de gravitación. Ambas fuerzas son conservativas, de modo que ambas tienen energía potencial U . Esa energía potencial, que es función de la posición, asume la misma forma para ambos casos. Solo los cambios de energía potencial tienen significado.

Al representar un campo eléctrico no uniforme originado por una carga fuente puntual + q. Si dentro del campo originado por esa carga se coloca una carga de prueba positiva + q_o, sobre dicha carga actúa, en cada punto donde se sitúe, una fuerza eléctrica cuyo módulo viene dada por la ley de Coulomb.
Como la fuerza eléctrica no es constante, para obtener una expresión que permita medir la energía potencial eléctrica. En la Posición r_A la carga de prueba + q_o está sometida a una fuerza eléctrica

_e y un agente externo debe aplicar una fuerza

del mismo módulo que

_e pero de sentido opuesto para equilibrarla.

Si la carga + q_o se aproxima a la carga + q, la fuerza

_e aumenta por lo que también debe aumentar

para lograr el equilibrio de la carga + q_o. En consecuencia para mover la carga de prueba + q_o con rapidez constante desde la posición r_A hasta la posición r_B, un agente externo debe aplicar, en cada instante que considere, una fuerza diferente.
El módulo de la fuerza aplicada por el agente externo en cada instante que se considere es por ley de Coulomb:

El área bajo el gráfico mide el trabajo W_ABrealizado por el agente externo para llevar la carga + q_o desde la posición r_A hasta la posiciónr_A.
Utilizando procedimientos matemáticos se demuestra que el trabajo W_AB viene dado por la siguiente ecuación:

Este trabajo se almacena en forma de energía de posición o energía potencial eléctrica

U en el sistema formado por las cargas q y q_o.

Se puede escribir:
Es decir:

Esta ecuación permite escribir que la energía potencial en la

posición r_A es:
Y en la posición r_{B :}

La energía potencial eléctrica es nula ( U₀= 0) cuando la separación entre las cargas es infinitamente grande (r

a)
En general la energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas q y q_oseparadas la distancia r es:

La energía potencial eléctrica U del sistema formado por una carga fuente puntual q y una carga de prueba positiva + q_o situada a la distancia r de q es una magnitud que se mide por el trabajo que debe realizar un agente externo para desplazar la carga de prueba + q_o con rapidez constante desde una distancia infinita hasta la distancia r de q.

Un objeto cargado tiene energía potencial eléctrica en virtud de su posición en un campo eléctrico

Para calcular la energía potencial eléctrica de un sistema de más de dos cargas el procedimiento es calcular la energía potencial eléctrica para cada par de cargas separadamente y luego sumar los resultados algebraica-mente.

Energía potencial electrostática

Para hallar una expresión para la energía potencial suponemos que movemos una carga el seno de un campo eléctrico de manera cuasi-estática. Para ello debemos ejercer una fuerza que supere a la eléctrica, pero solo ligeramente (pues la partícula no se llega a acelerar).

$\vec{F}_\mathrm{ext}+\vec{F}_e = \overbrace{m\vec{a}}^{=\vec{0}}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_\mathrm{ext}=-\vec{F}_e = -q\vec{E}$ por lo que el trabajo realizado es

$W_\mathrm{in} = -\int_A^B q\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

En principio, esta integral depende del camino que se recorra. Sin embargo, para el caso del campo de una carga puntual es fácil demostrar (como veremos) que solo depende de la distancia inicial y final a la carga que crea el campo. Puesto que todo campo electrostático es suma de campos de cargas puntuales, se llega a que para cualquier campo electrostático, la integral es independiente del camino y equivale al incremento de una energía potencial

$\Delta U_\mathrm{e} = U_{\mathrm{e}B}-U_{\mathrm{e}A}=-\int_A^B q\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Definimos entonces la energía potencial de una carga puntual en un campo eléctrico como la integral

$U_{\mathrm{e}A} = -q\int_O^A \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

siendo O un punto de referencia al cual se le asigna energía potencial 0. Para campos debidos a distribuciones localizadas de carga se suele tomar el infinito como referencia. En problemas concretos se puede elegir otro punto que sea más conveniente. Es importante, a la hora de resolver un problema que, una vez elegido el punto de referencia, este no se cambie.

La energía potencial electrostática puede ser tanto positiva como negativa, y su incremento puede tener también los dos signos.

Si acercamos una carga positiva a otra carga positiva (o en general a un campo que la repele) debemos hacer un trabajo positivo y la energía potencial aumenta.
Si en el mismo campo anterior la carga que acercamos es negativa, resulta un trabajo negativo y una disminución de la energía potencial. ¿Cómo se explica esto físicamente? En este caso, el campo atrae a la carga, por lo que la fuerza que debemos hacer es para retenerla e impedir que se acelere. Esto nos permite extraer energía de la carga (que disipamos por rozamiento, o guardamos en algún tipo de acumulador, como puede ser un resorte o un tubo de aire comprimido).

Las gráficas representan la energía potencial de una carga en el campo eléctrico de un anillo. La curva en forma de montaña corresponde a que la carga y el anillo tengan el mismo signo, y la curva en forma de valle a que tengan signo opuesto.

Una vez establecida la curva de energía potencial, puede aplicarse todo el análisis visto en Mecánica, de curvas de potencial estudiando los casos de equilibrio estable o inestable, los puntos de retorno, movimiento oscilatorio, etc.

Superficies equipotenciales

Una de las formas de visualizar el potencial eléctrico es mediante las superficies equipotenciales, que son aquellas formadas por los puntos que tienen el mismo potencial. Vienen a ser equivalentes a las curvas de nivel en un mapa topográfico o las isobras en un mapa del tiempo (pero en 3 dimensiones). Puesto que el poptencial eléctrico tiene un solo valor en cada punto del espacio, se deduce que las superficies equipotenciales no pueden cortarse entre sí.

De la relación entre el potencial y el campo eléctrico se demuestra que éste es siempre ortogonal a las superficies equipotenciales.

Diferencia de potencial

En muchas situaciones no estamos interesados tanto en el valor del potencial, sino en cuanto cambia de un punto a otro. Esto se mide con la diferencia de potencial (d.d.p.)

$V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$ o, intercambiando los subíndices

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Esta integral es independiente del camino que se elija para ir de A a B (aunque alguno hay que elegir). Se denomina también caída de tensión.

La diferencia de potencial se mide en voltios, como el propio potencial eléctrico.

La diferencia de potencial se relaciona directamente con el trabajo para mover una carga puntual, ya que

$W_{A\to B}= U_{\mathrm{e}B}-U_{\mathrm{e}A} = qV_B - q V_A = q(V_B-V_A)\,$

es decir, el trabajo para mover una carga entre dos puntos en un campo externo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los puntos. Si la carga es positiva, es necesario realizar un trabajo positivo para subir su potencial (su “altura”) y negativo para bajarlo. Al contrario, si la carga es negativa.

Potencial de una carga puntual

A partir del campo eléctrico de una carga puntual situada en el origen de coordenadas

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\vec{u}_r$

Podemos hallar el potencial eléctrico considerando el origen de potencial en el infinito. Integrando a lo largo de un camino rectilíneo radial

$\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}r\,\vec{u}_r$

y queda, para un punto situada a una distancia

r

de la carga

$V(r) = -\int_\infty^r \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

Las superficies equipotenciales en este caso son esferas concéntricas, que por supuesto son ortogonales al campo eléctrico, que es puramente radial.

Más en general, para una carga situada en un punto arbitrario, el potencial será la cantidad escalar

$V_P = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 d_{qP}}$

siendo

d q P

la distancia entre la carga y el punto P. Empleando los vectores de posición

$V(\vec{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_q|}$

Del mismo modo, la diferencia de potencial depende solamente de las distancias inicial y final a la carga

$V_B-V_A = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{d_{qB}}-\frac{1}{d_{qA}}\right)$

Potencial de una distribución

Puesto que el campo eléctrico de un conjunto de cargas es la suma de los campos individuales, su integral, el potencial eléctrico, también lo será. Eso sí, hay que tener cuidado con tomar el mismo origen de potencial para todos los potenciales individuales.

Así, si tenemos dos cargas

q 1

q 2

situadas en dos puntos situados en $\vec{r}_1=-a\vec{\imath}$ y $\vec{r}_2=+a\vec{\imath}$ , el potencial eléctrico debido a ellas es

$V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{d_1}+\frac{q_2}{d_2}\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}}+\frac{q_2}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}}\right)$

En el caso de dos cargas positivas iguales resulta un potencial positivo en todos los puntos del espacio. En este caso, el campo eléctrico es nulo en el punto medio entre las dos cargas, mientras que el potencial es distinto de 0.

Si lo que tenemos es un dipolo, con cargas de la misma magnitud, pero signo opuesto, el potencial puede tener los dos signos. En el punto medio entre las dos cargas el campo eléctrico no es nulo, pero el potencial sí. De hecho, en todo el plano equidistante entre las dos cargas el potencial se anula, ya que esos puntos equidistan de las dos cargas

$V(x=0)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{d}-\frac{q}{d}\right)=0$

La expresión se generaliza a cualquier distribución de carga. Para un conjunto de cargas puntuales

$V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{d_{iP}}$

y para una distribución continua (de volumen, de superficie o lineal)

$V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{d_{qP}}$

Tenemos entonces varias formas de hallar el potencial de una distribución:

Integrando el campo eléctrico, si conocemos éste. Sin embargo, esto no es lo habitual, ya que precisamente la utilidad del potencial eléctrico es emplearlo en lugar del campo y sin conocer este de antemano (si es preciso, se calcula con el gradiente).
Por integración directa, que consiste en emplear la integral anterior para el potencial de una distribución. Esta integral, no obstante, suele ser muy compleja y requiere el uso de cálculos numéricos.
Resolviendo el problema del potencial. Aunque su nivel se escapa a esta introducción, la forma más habitual de hallar el potencial eléctrico es resolviendo un problema de ecuaciones diferenciales.

Potencial electrico

domingo, 24 de noviembre de 2013